TU Wien:Mathematik 1 VO (Karigl)/Prüfung 2009-05-15

Informatik-forum Thread: f.thread:73147

1. Beispiel: Kombinatorik

Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 12 ? Wieviele 0er, 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er kann es geben. wobei jeweils immer genau 1,2,3 etc. übereinstimmen muss.

Lösung:

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 141

2. Beispiel: Gausssches Eliminationsverfahren

LGS lösen: $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}x1 \\ x2 \\ x3\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}6 \\ 6 \\ 3 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}$

Was ist der Rang der Koeffizientenmatrix? Welchen Wert hat der Rang bei diesem LGS?

Anmerkung mick:

Lösung: x1=x2=x3=1

Tipp:

1) Sortiere alle Zeilen aufsteigend, nach den Werten in der 1. Spalte

2) 1. Zeile zu den übrigen addieren/subtrahieren etc. so das in den restlichen Zeilen in der 1. Spalte 0 steht

danach sollte es offensichtlich sein, wie die Matrix "aufzulösen" ist.

• lösung superphil0*

rang der Matrix ist 3

3. Beispiel: Kurvendiskussion

Untersuche $f(x) = -xe^x$ auf Nullstellen, Monotonie, Konvexität

4. Beispiel: Algebraische Strukturen

Definiere und gib ein Beispiel für: Ring, Integritätsring, Körper. Beweise das jeder endliche Integritätsring auch ein Körper ist.

5. Beispiel: Kreuzregeln über Konvergenz von Folgen und Reihen

Können keine, eine, oder mehrere Möglichkeiten richtig sein:

• a heisst Grenzwert der Folge $a_n$ falls:
  • $\forall\varepsilon>0\quad\forall N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon$
  • $\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon$
  • $\exists\varepsilon>0\quad\forall N(\varepsilon)\quad\forall N > N(\varepsilon):\quad\left|a_n-a\right|<\varepsilon$
• $a_n=1/(n+3)^2$
  • monoton
  • beschränkt
  • konvergent
• $a_n=(-1)^{n+1}$
  • monoton
  • beschränkt
  • konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  • Ja
  • Nein
• Jede beschränkte Folge ist konvergente.
  • Ja
  • Nein
• $a_n=(1+1/n)^n$
  • 0
  • 1
  • 2
  • e
  • ${\infty}$
• Ist die Folge konvergent, so ist auch die Reihe konvergent.
  • Ja
  • Nein
• Ist die Reihe konvergent, so ist auch die Folge konvergent.
  • Ja
  • Nein